В свободном пространстве колебательное электромагнитное поле, описываемое калибровочно-инвариантным поперечным векторным потенциалом , удовлетворяет однородному волновому уравнению и условию дивергенции (используя калибровку Кулона).

Самое простое нетривиальное решение для этих двух уравнений дается через

где

и каждый является решением уравнения Гельмгольца

Операторы и обычно называются операторами уничтожения и создания. Электрические магнитные поля задаются через

Гамильтониан такого колебательного электромагнитного поля выражается как:

где определяет режим поляризации, а временная зависимая амплитуда волны дается через:

Энергия системы независимых гармонических осцилляторов, каждый из которых представляет собой один режим свободного электромагнитного поля. Состояние классического радиационного поля определяется набором всех канонических переменных (положение-импульс), которое задается через:

где

Тогда квантованный гамильтониан принимает следующую форму:

где оператор числа фотонов определяет количество фотонов на уровне энергии . Оператор электрического поля задается через:

В вакуумном состоянии (состояние с 0 фотонов), средние значения электрического и магнитного полей равны:

потому что

Таким образом

Среднее значение электромагнитного поля равно нулю, но его флуктуации не равны нулю, что видно для одного мода:

При вычислении среднего значения мы получаем:

Таким образом, мы находим вакуумную энергию в свободном пространстве для пульсации:

Чтобы вычислить эффективную плотность энергии, необходимо рассмотреть корреляционную функцию.

Мы можем использовать оператор плотности для оценки корреляционных функций второго порядка оптического поля:

где одна из компонент поляризации оператора электрического поля (s="+" и s = "−") выражается

Результатом является корреляционная функция нормально упорядоченного поля:

Операторы рождения и уничтожения для моды дают:

где — оператор числа фотонов для моды а — это среднее число фотонов в моде

Когерентная система дает симметрично упорядоченную корреляционную функцию, которая является суммой нормально и антинормально упорядоченных функций:

Температурозависимый член может быть вычислен как:

где . Температуронезависимый член можно оценить как [1]:

где

Таким образом, общая энергия симметрично упорядоченной системы:

и в предельном случае :

Из определения операторов положения и импульса мы имеем:

Таким образом, для вектора коммутатор применяется как:

Из [6] (стр. 53) мы получаем положение:

Плотность энергии нулевой точки (ZPE) выводится из суммы элементарных сферических гармонических осцилляторов с энергией основного состояния для всех возможных мод полей (см. Приложение B). Для трёхмерных сферических осцилляторов:

и плотность вакуумной энергии получается из суммы всех мод энергии :

где — количество мод с пульсацией . Следуя расчетам, представленным Адлером и соавторами в [121], мы рассчитываем количество мод dn между и в объеме как объем импульсного пространства в тонкой сферической оболочке, деленный на , так что:

и, следовательно, переводя сумму в интеграл, получаем:

Прибавление вводится как геометрический фактор. Ожидается бесконечное количество возможных мод (), что привело бы к расходимости плотности вакуума . Однако, как объяснено в Приложении C, мы ограничиваем высокие частоты пульсацией отсечки, соответствующей осциллятору с характерным диаметром , длиной Планка, и получаем пульсацию отсечки . Таким образом, плотность вакуумной энергии конечна и может быть выражена (в единицах массы) как:

Выбор отсечки оправдан, так как длина Планка считается минимальной допустимой длиной в структуре нашего пространства-времени, как описано в разделе 2.2.