1 Энергия нулевой точки и её последствия

Энергия нулевой точки (ZPE) была обнаружена при изучении взаимодействия электромагнитных волн с конденсированным веществом, в ходе исследований термодинамики излучения абсолютно черного тела и фотоэлектрического эффекта. ZPE впервые была получена Максом Планком в попытке решить ультрафиолетовую катастрофу, присутствующую в классических моделях того времени (модели Релея-Джинса и Вина), описывающих спектр плотности энергии, излучаемой черным телом, который был наблюдаем Кихгофом в 1860 году[4]. Целью было с термодинамической точки зрения понять механизмы поглощения и излучения электромагнитной частоты ν абсолютно черным телом, удерживаемым при постоянной температуре T. Эти ранние попытки, в частности, позволили вывести закон Стефана-Больцмана, который описывает поверхностную плотность излучаемой энергии j(T) (в Вт/м²) как функцию температуры массивного тела

где σ - постоянная Стефана-Больцмана.

Исходя из классической модели, Макс Планк описал атомы как резонаторы гармонических колебаний [5] и вывел плотность излучаемой энергии в частотном интервале . Уравняв скорость поглощения внешней электромагнитной энергии черным телом и скорость её излучения, он получил спектр плотности энергии.

где U – полная внутренняя энергия осциллятора [4].В то время задачей было определить правильное выражение для U.

Хотя осциллятор обычно визуализируется как линейная колеблющаяся пружина, необходимо учитывать, что аналогия с пружиной — это одномерная проекция трёхмерного вращательного движения (Рисунок 1), которое является более реалистичным и точным представлением того, что происходит в реальных физических резонаторах (например, атомах).

Рисунок 1: (a) Типичное представление осциллятора в виде пружины с прикрепленной к ней массой в одномерных колебаниях. (b) Более реалистичное представление естественного осциллятора как трёхмерного вращательного движения.

Были предприняты различные статистически неудачные попытки, такие как законы распределения Релея-Джинса или Вина, чтобы вычислить спектр плотности электромагнитной энергии, совместимый с законом Стефана-Больцмана. Решение Релея-Джинса привело к ультрафиолетовой расходимости, в то время как распределение Вина не имело расходимости, но не смогло вычислить правильное значение для постоянной Стефана-Больцмана. После этих ранних попыток Планк изначально начал с применения законов термодинамики к абсолютно черному телу и связал полную энергию U с энтропией системы S. Его основным предположением было рассматривать непрерывное поглощение и излучение, при этом каждый осциллятор излучает элементарную энергию ε, пропорциональную его собственной частоте v,e=hv [6]². Таким образом, Планк получил полную внутреннюю энергию.

Из этого в 1901 году он вывел решение, соответствующее экспериментальным данным, которое стало известно как закон Планка.

Этот первый закон решил ультрафиолетовую катастрофу, дав конечный спектр на высоких частотах и соответствующую плотность излучаемой энергии, которая соответствует закону Стефана-Больцмана. Однако это породило новую проблему, так как внутренняя энергия U должна была бы сводиться к как предсказывает теорема о равнораспределении энергии в классическом пределе при высоких температурах

Из разложения в ряд Тейлора Планк обнаружил дополнительный отрицательный член , соответствующий недостающему вкладу. Хотя его закон удачно совпадал с экспериментальным спектром плотности, Планк был неудовлетворен его выводом из-за этого отрицательного остаточного терма. Ему потребовалось почти десять лет для разработки новой теории. Тем временем, изучая испускание электронов из металлов, освещаемых светом (сейчас это известно как фотоэлектрический эффект), Альберт Эйнштейн в 1905 году предложил, что квантовый член, обнаруженный Планком, является реальным физическим свойством излучения и элементарных поглотителей, так что свет распространяется в дискретных пакетах энергии, состоящих из квантов энергии hv, которые он назвал фотонами. Это открытие дискретного излучения света в виде фотонов веществом привело ко второй гипотезе Планка.

В 1912 году в своей второй теории Планк описал черное тело как систему элементарных осцилляторов, способных непрерывно поглощать свет, но излучать дискретную (квантованную) электромагнитную энергию [6]3. Планк предложил, что осциллятор будет непрерывно поглощать энергию, пока не достигнет определенного порога, после чего с определенной вероятностью излучит квант. Таким образом, он вывел новое выражение для внутренней энергии .

Здесь появляется второй член , который соответствует недостающему вкладу, дополнительно к классическому члену ​ выведенному десятью годами ранее. Таким образом, вторая теория Планка удовлетворяет теореме о равнораспределении энергии, что приводит к при высокой температуре

Однако этот новый член также означал, что даже при нуле Кельвина осцилляции всё равно происходят, что привело Планка к введению понятия энергии нулевой точки (ZPE), соответствующей энергии основного состояния ​

Из-за механизма дискретного излучения Планк решил, что больше не может использовать уравнение (1.2) для получения спектра плотности энергии, так как оно было выведено для случая непрерывного излучения. Поэтому Планк предположил, что отношение между вероятностью не излучать  и вероятностью излучить  квант света пропорционально спектру плотности энергии и снова получил свой закон 1901 года (уравнение (1.4)). В своей второй теории Планк вывел правильное выражение для энергии U, которое включает энергию нулевой точки (ZPE). Он считал, что ZPE не будет иметь значительных экспериментальных последствий [6]⁴, однако, как мы увидим, ZPE участвует в критически важных фундаментальных явлениях квантовой механики, таких как спонтанное излучение, сдвиг Лэмба и многие другие (см. Таблицу 1 и [7]). В то время энергия нулевой точки (ZPE) не появлялась в законе Планка для спектра плотности энергии так как , хотя в современных учебниках по физике спектр плотности энергии нулевой точки (ZPE) рассматривается для свободного поля (или вакуума). Эта идея вакуумных флуктуаций (ZPE) также появилась несколько лет спустя, в 1916 году, благодаря Вальтеру Нернсту, который заменил член в распределении Релея-Джинса на hv, чтобы оценить спектр энергии нулевой точки для свободного электромагнитного поля. Чтобы избежать ультрафиолетовой расходимости плотности энергии, Нернст был вынужден ввести частоту отсечки​ таким образом, чтобы

Нернст понял, что вакуумная нулевая энергия (ZPE) была «довольно огромной, вызывая необычайные флуктуации, способные оказывать значительные воздействия» [8].

Чтобы вывести полное выражение для спектра плотности энергии  которое включает в себя спектр черного тела и спектр вакуума, Планк мог бы объединить уравнения (1.2) и (1.6), чтобы получить полный спектр энергии.

в котором спектр энергии вакуума для свободного электромагнитного поля ​ появляется, как и предполагал Нернст.

Современное выведение  использует квантовую теорию поля [1]⁵ и корреляционные функции между деструктивной и конструктивной интерференцией (подробности см. в Приложениях A и B). Корреляционная функция является способом измерения когерентности поля [9]. В неупорядоченной системе плотность энергии электромагнитного поля определяется нормально упорядоченной корреляционной функцией

В когерентной системе положительные (поглощение/аннигиляция фотона) и отрицательные (излучение/создание фотона) частоты должны быть симметричны, что приводит к симметрично упорядоченной корреляционной функции

Когда режимы поля достаточно когерентны (характерное время очень мало, τ ≈ 0), плотность электромагнитной энергии ρ(T) в получается из среднего значения свободного электрического поля и выражается как

при — это постоянная Стефана-Больцмана. Полное выражение для плотности энергии содержит два члена: первый соответствует закону Стефана-Больцмана, а второй, представляющий энергии нулевой точки (ZPE), появляется только на когерентных масштабах. Плотность энергии нулевой точки (ZPE) выражается как

которая демонстрирует дивергенцию на высоких частотах. Это решается путем регуляризации поля с помощью частоты отсечки, как будет показано позже в разделе 2.2.

Эти ранние выводы Планка, Эйнштейна и Нернста о взаимодействии света и материи, приводящие к плотности энергии нулевой точки (ZPE), лежат в основе квантовой механики. Рассмотрение гармонических осцилляторов изначально предсказывает существование ненулевой энергии основного состояния вакуума, что проявляется в собственных значениях гамильтониана гармонических осцилляторов (см. раздел 1.3). Кроме того, вакуумная электромагнитная энергия ​ является критически важной для рассмотрения голой массы и заряда, а также для процесса перенормировки, используемого в квантовой электродинамике (QED) и квантовой хромодинамике (QCD).

Исторически работы по поглощению и излучению электромагнитного поля материей были расширены Дираком в 1927 году в его теории квантовой электродинамики (QED), описывающей взаимодействие заряженных частиц через кванты — фотоны, которые являются квантованными возбуждениями электромагнитного поля. Это обычно описывается как квантовая теория поля (QFT). Согласно QFT, энергия нулевой точки появляется в каждом поле, как в вакууме QED, так и в вакууме QCD, и описывает частицы как возбужденные состояния их соответствующих полей, давая представление о создании частиц и их взаимодействии. Однако Стандартная модель не рассматривает гравитационное поле и структуру пространства-времени, связанную с уровнями плотности энергии, возникающими из ненулевой вакуумной энергии (то есть ZPE). Джон Арчибальд Уилер и другие занимались некоторыми из этих вопросов, которые будут обсуждаться в разделе 2.

Далее мы покажем, что энергия нулевой точки (ZPE) является необходимостью как для теоретических подходов, так и для анализа экспериментальных данных, чтобы сохранить консистенции.

Прояснение природы электромагнитного поля в вакуумном состоянии можно вывести из квантовой механики. Вакуумное электромагнитное поле обычно математически рассматривается как одномерный гармонический осциллятор — модель, широко используемая в квантовой механике, особенно в теории возмущений[6]⁶. Общий квантовый гамильтониан для гармонического осциллятора выглядит так

с массой частицы m, оператором импульса , оператором положения и частотой осциллятора где k — коэффициент силы осциллятора. Когда Дирак работал над коэффициентом спонтанного излучения атома [10], он вывел целую теорию операторной механики, основываясь на некомутационном соотношении , что привело к определению операторов уничтожения  и создания, связанных с операторами положения и импульса так, что , и гамильтониан гармонического осциллятора может быть упрощен следующим образом (см. Приложение A)

Связанное уравнение Шрёдингера можно решить, найдя собственные состояния оператора числа , из которых выводятся не зависящий от времени уровень энергии гармонического осциллятора

для  — это количество фотонов, присутствующих в режиме . 1.3 Энергия нулевой точки (ZPE) соответствует основному состоянию , в котором нет фотонов, но все же есть энергия . Таким образом, квантовая теория излучения предсказывает энергию нулевой точки для электромагнитного поля.

Природа энергии нулевой точки (ZPE) становится более понятной, когда ее рассматривают в контексте квантования вакуумного электромагнитного поля. Как показано в Приложении A, анализ гармонических осцилляторов приводит к следующим выражениям для электрического и магнитного полей

В вакуумном состоянии и для всех стационарных состояний средние значения электрического и магнитного поля равны нулю.

Как и ожидалось, электрическое и магнитное поля осциллируют с нулевым средним значением, что иллюстрирует тот факт, что они не наблюдаются на наших обычных временных масштабах , так как когерентное время ​ очень мало. Исторически это описывалось как поле «виртуальных» частиц. Однако плотность энергии, рассчитанная как среднее значение квадрата электрического поля, не равна нулю

с плотностью энергии нулевой точки (ZPE), равной

При отсутствии фотонов плотность электромагнитной энергии ​остается ниже порога энергии , необходимого для спонтанного излучения.

Энергия нулевой точки (ZPE) может, и обычно математически так и исключается из гамильтониана с помощью процедуры нормального упорядочивания , но это не означает, что энергия нулевой точки (ZPE) исчезает из системы. На самом деле, ненулевое значение режима возникает из-за некоммутативного соотношения между операторами и ([a,a^† ]=1) и является критически важным для математической согласованности квантовой теории[6]7. Это можно продемонстрировать, если рассмотреть модель атома с диполем, где длина диполя представлена координатами x(t). Полученное уравнение гармонического осциллятора, которое учитывает поле реакции излучения (в приближении малого затухания ) и источник нулевой точечной энергии , будет выглядеть следующим образом

c и — это собственная частота системы. Решение без энергии нулевой точки (ZPE) () предсказывает быстрое сокращение длины диполя , аналогично классическому электрону, который бы излучил всю свою энергию и упал на ядро [6] (стр. 81)

На самом деле, энергия нулевой точки (ZPE) — это необходимый источник, обеспечивающий стабильность материи, компенсируя радиационное затухание диполя. Если рассматривать ненулевую ZPE в уравнении в виде , то получаем

Также, это решение с учетом энергии нулевой точки (ZPE) сохраняет некоммутативное соотношение, необходимое для математической согласованности квантовой теории. В приближении малого затухания , можно вычислить среднее по времени значение для коммутатора [6]⁸.

Для изотропных и неполяризованных вакуумных флуктуаций имеем , так что в пределе континуума, где , можно аппроксимировать коммутативное соотношение (см. Приложение C)

Следовательно, энергия нулевой точки (ZPE) необходима для поддержания некоммутативности операторов , что приводит к тому, что принцип неопределенности Гейзенберга вытекает из вакуумных флуктуаций ZPE. Эти вакуумные флуктуации выражаются стандартными отклонениями положения и импульса , которые вычисляются из собственных векторов оператора числа как

из этого выводится принцип неопределенности Гейзенберга

Таким образом, основы квантовой механики и принцип неопределенности прочно укоренены в динамике вакуумных флуктуаций ZPE, которые определяют ванну (или поле), в которой частицы появляются, развиваются и взаимодействуют. Таким образом, вопреки распространенному мнению, принцип неопределенности является следствием, а не источником ZPE [6].

Более того, попытки решить проблемы дивергенций, возникающих в квантовой механике из-за ZPE, одновременно используя его для определения фундаментальных полей частиц и сил, не были успешно решены с помощью процесса перенормировки. Это, в свою очередь, привело к весьма резким высказываниям некоторых отцов-основателей квантовой механики.

Многие физики очень довольны сложившейся ситуацией. Они говорят: «Квантовая электродинамика — это хорошая теория, и нам больше не о чем беспокоиться». Должен сказать, что я очень недоволен ситуацией, потому что эта так называемая «хорошая теория» действительно включает в себя игнорирование бесконечностей, которые появляются в её уравнениях, произвольно отбрасывая их. Это просто неразумная математика. Разумная математика подразумевает игнорирование величины, когда она мала, а не пренебрежение ею просто потому, что она бесконечно велика, и вы не хотите её учитывать! - Дирак, 1975 [11]⁹.

Игра в напёрстки, которую мы ведём, технически называется «перенормировка». Но, как бы ни было умно это слово, это всё ещё то, что я назвал бы нелепым процессом! Вынужденное прибегание к такому фокусничеству мешает нам доказать, что теория квантовой электродинамики математически самосогласованна. Удивительно, что эта теория до сих пор не была доказана как самосогласованная так или иначе; я подозреваю, что перенормировка не является математически легитимной. - Фейнман, 1985 [12]¹⁰.

Попытки перенормировать бесконечности в квантовой теории имеют последствия для структуры пространства-времени, которые исследовались многими учёными и сталкиваются в чёрных дырах, в сингулярности, где пространство-время стремится к бесконечности как результат общей теории относительности. За последние десятилетия эти последствия активно исследовались в астрофизических применениях квантовой механики, начиная от голографического принципа Хуана Малдасены [13], Жерара 'т Хоофта [14] и Леонарда Сасскинда [15], квантовой пены Уилера [16], виртуальных микро-чёрных дыр Стивена Хокинга [17] и заканчивая соответствием между квантовой запутанностью и пространством-временем, как в мостах Эйнштейна-Розена (ER = EPR). Как правило, во всех этих исследованиях проблема перенормировки в квантовой механике не решается, так как основной акцент делается на решении вопросов бесконечностей и сохранения в релятивистской физике. Однако, возможно, есть значительные перспективы в применении формализма пространства-времени на квантовом уровне, чтобы придать физический смысл процессам регуляризации и перенормировки.

В разделах ниже мы рассмотрим связь энергии нулевой точки (ZPE) со структурой пространства-времени, его физическую значимость и роль в экспериментальной работе.

Мотивацией Дирака для разработки теории квантовой электродинамики (QED) стало вычисление вероятности спонтанного излучения в модели атома водорода, предложенной Бором для объяснения спектральных линий водорода. В модели Бора электрон может существовать только на определённых, дискретных орбитах, и каждый переход сопровождается спонтанным излучением или поглощением фотона. Когда фотон поглощается, он аннигилируется, переходя в вакуумное состояние, а испускаемый фотон создаётся при выходе из вакуумного состояния. Аналогично, электрон "прыгает", будучи поглощённым и испущенным из вакуума на новую орбиту. Это математически выражается через операторы аннигиляции и создания, которые понижают или повышают уровень энергии системы на один квант: and . Согласно уравнению Дирака, релятивистской версии уравнения Шредингера, электроны могут находиться как в положительном, так и в отрицательном энергетическом состоянии, где также верно, как и . Это наблюдение привело Дирака к постулированию существования "моря Дирака" как резервуара электронов с отрицательной энергией, которые могут появляться из вакуума. Из этого концепта Дирак успешно предсказал существование антиэлектрона или позитрона, как "дырки" в море Дирака. В 1932 году существование позитрона было экспериментально подтверждено Карлом Андерсоном.

Эта способность создания и аннигиляции пар электрон-позитрон из электромагнитного вакуума, предсказанная уравнением Дирака и демонстрирующая физическую реальность квантовых флуктуаций вакуума, была недавно экспериментально подтверждена:

Эффект Швингера: При приложении к вакууму электромагнитного поля выше предела Швингера (), пары электрон-позитрон могут достичь достаточного разделения для преодоления циклической аннигиляции и быть наблюдаемыми. Предел впервые был выведен в 1931 году в одном из первых теоретических успехов QED Фрицем Зутером [19], а позже закреплен Юлианом Швингером [20], который рассчитал скорость образования пар электрон-позитрон. Это было измерено в 2022 году в суперрешётках графена [21][22].

Вакуумное двулучепреломление: Постулированная Швингером в 1936 году, Вакуумное двулучепреломление сейчас экспериментально наблюдается вокруг изолированных нейтронных звёзд (или пульсаров). Пульсары создают чрезвычайно интенсивные магнитные поля, превышающие предел Швингера, так что электроны и позитроны создаются из вакуума вокруг нейтронной звезды. Анизотропия вакуума в этой области делает его двулучепреломляющим, что можно наблюдать по измеряемой степени поляризации света от пульсара [23].

Эффект Брейта-Уилера: Два фотона комбинируются для образования пары электрон-позитрон, что было экспериментально подтверждено в 2021 году на Большом адронном коллайдере [24].

Одним из первых и основных экспериментальных подтверждений энергии нулевой точки (ZPE) считается смещение Ламба. В 1947 году Ламб и Резерфорд измерили сдвиг в энергетическом уровне водорода , который не предсказывался уравнением Дирака. Позже было выяснено, что так называемое смещение Ламба является результатом взаимодействия флуктуаций вакуумной энергии с электроном вокруг ядра [25]. Это было ключевым наблюдением эффекта энергии нулевой точки (ZPE) и доказало физическое влияние флуктуаций вакуума.

Ещё одно экспериментальное подтверждение энергии нулевой точки (ZPE) — это эффект Казимира. Изучая притяжение силы Ван-дер-Ваальса между двумя атомами в вакууме, Хендрик Казимир обнаружил, что два зеркала в вакууме испытывают силу, возникающую из-за полости между пластинами, которая устраняет часть мод колебаний вакуума, создавая градиент энергии, приводящий к появлению силы [26]. Стивен Ламорт в 1997 году впервые измерил этот эффект, подтвердив расчёты Казимира [27]. Статический эффект был измерен многократно после первой попытки Ламорта [28].

Совсем недавно были подтверждены экспериментальные верификации динамического эффекта Казимира и крутящего момента Казимира, что позволяет напрямую наблюдать вакуумные флуктуации и устраняет оставшиеся сомнения относительно происхождения эффекта Казимира [29]. Динамический эффект Казимира был впервые концептуализирован в 1970 году [30], когда две зеркальные пластины осциллировали с почти релятивистской скоростью, эффективно накачивая вакуумные флуктуации и извлекая из них реальные фотоны. В 2011 году было проведено первое экспериментальное исследование, зафиксировавшее извлечение микроволновых фотонов с использованием модифицированного SQUID, что подтвердило динамический эффект Казимира [31].

Таблица 1: Список физических эффектов на основе энергии нулевой точки (ZPE) с теоретическим предсказанием или послетестовым объяснением и соответствующими экспериментальными подтверждениями.

Начало аннотации, сообщающей о результатах экспериментов в журнале Nature, делает мощное заявление:

Одна из самых удивительных предсказаний современной квантовой теории заключается в том, что вакуум пространства не пуст. На самом деле, квантовая теория предсказывает, что он кишит виртуальными частицами, возникающими и исчезающими. Хотя изначально это было воспринято как любопытство, быстро стало ясно, что эти флуктуации вакуума имеют измеримые последствия, например, вызывают смещение Ламба в атомных спектрах и изменяют магнитный момент электрона. - Вилсон, 2011 [31]

Эффект был подтвержден второй группой в 2013 году [32] и затем снова в 2019 году [33].

Эти результаты открывают дверь к использованию крутящего момента Казимира в качестве микро- или наномасштабного механизма активации, что может быть полезно для ряда технологий, включая микроэлектромеханические системы и жидкие кристаллы. [...] Ван-дер-ваальсовы и Казимировы эффекты оба являются результатом одного и того же механизма (квантовые и тепловые флуктуации), хотя исторически они были выведены из разных физических картин. - Соммерс, 2018 [34]

Все представленные выше экспериментальные результаты собраны в Таблице 1.